Question

如图，在菱形ABCD中，AB=BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG．（1）求证：

如图，在菱形ABCD中，AB=BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG．（1）求证：△AED≌△DFB；（2）求∠BGD的度数；（3）求证：DG+BG=CG．

Answer 1

（1）证明：∵ABCD为菱形，
∴AB=AD．
∵AB=BD，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
在△AED和△DFB中

AD＝BD ∠A＝∠BDF AE＝DF

，
∴△AED≌△DFB（SAS）；

（2）解：∵△AED≌△DFB，
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠DGB=∠DEB+∠EBG，∠DEB=∠A+∠ADE，
∴∠DGB=∠A+∠ADE+∠EBG=∠A+∠ABD=120°；

（3）延长FB到点M，使BM=DG，连接CM．
∵△AED≌△DFB，
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠CDG=∠ADC-∠ADE=120°-∠ADE，∠CBM=120°-∠DBF．
∴∠CBM=∠CDG，
∵△DBC是等边三角形，
∴CD=CB，
在△CDG和△CBM中，
∵

CD＝CB ∠CDG＝∠CBM DG＝BM

，
∴△CDG≌△CBM（SAS），
∴∠DCG=∠BCM，CG=CM，
∴∠GCM=∠DCB=60°，
∴△CGM是等边三角形，
∴CG=GM=BG+BM=BG+DG．