Question

函数g（x）=ax3+2（1-a）x2-3ax在区间（-∞，a3）内单调递减，则a的取值范围是______

函数g（x）=ax3+2（1-a）x2-3ax在区间（-∞，a3）内单调递减，则a的取值范围是______．

Answer 1

∵g′（x）=3ax²+4（1-a）x-3a，g（x）在（-∞，a/3）递减，
则g′（x）在（-∞，a/3）上小于等于0
（1）a=0时，g′（x）≤0，解得：x≤0，即g（x）的减区间是（-∞，0），
∴

a

3

≤0，才能g（x）在（-∞，

a

3

）递减，解得a=0
（2）a＞0，g′（x）是一个开口向上的抛物线，
要使g′（x）在（-∞，

a

3

）上小于等于0 解得：a无解
（3）a＜0，g′（x）是一个开口向下的抛物线，
设g′（x）与x轴的左右两交点为A（x₁，0），B（x₂，0）
由韦达定理，知x₁+x₂=-

4(1?a)

3a

，x₁x₂=-1，
解得：x₁=-

?2(1?a)+ 10a2?2a+1

3a

，
则在A左边和B右边的部分g′（x）≤0 又知g（x）在（-∞，

a

3

）递减，
即g′（x）在（-∞，

a

3

）上小于等于0，
∴x₁≥

a

3

，解得-1≤a≤5，取交集，得-1≤a＜0，
∴a的取值范围是-1≤a≤0．