Question

函数f(x)=ax+1/x^2在区间【2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围

Answer 1

解：
方法一：定义法：
设x2>x1≥2
f(x2)-f(x1)=(ax2+1)/x2²-(ax1+1)/x1²
=[(ax2+1)x1²-(ax1+1)x2²]/(x1x2)²
=(ax2x1²+x1²-ax1x2²-x2²)/(x1x2)²
=-[ax1x2(x2-x1)+(x2+x1)(x2-x1)]/(x1x2)²
=-(x2-x1)[ax1x2+(x1+x2)]/(x1x2)²
x2>x1，x2-x1>0，-(x2-x1)<0
x2>x1≥2，(x1x2)²>0
要f(x2)>f(x1)，只需ax1x2+(x1+x2)<0
ax1x2<-(x1+x2)
a<-(1/x1+1/x2)
x1≥2，0<1/x1≤1/2
x2>x1，x2>2，0<1/x2<1/2
1/x1+1/x2<1/2+1/2=1
-(1/x1+1/x2)>-1
a≤-1

方法二：导数+一次函数法
f(x)=(ax+1)/x²
f'(x)=[(ax+1)'·x²-(ax+1)(x²)']/x⁴=-x(ax+2)/x⁴
要f'(x)在[2，+∞)上单调递增，只需在区间[2，+∞)上，f'(x)≥0
x≥2，-x<0，x⁴>0，因此只需在区间[2，+∞)上，ax+2≤0
令g(x)=ax+2，要在区间[2，+∞)上，ax+2≤0，一次项系数a<0，g(2)≤0
2a+2≤0，解得a≤-1
综上，得a≤-1

两种方法的结果是一样的。

Answer 2

f(x)=（ax+1）/(x+2) = (a(x+2)-2a+1)/(x+2) = a + (1-2a)/(x+2)
f(x)=（ax+1）/(x+2)在区间(－2，＋∞)上单调递增
<=> (1-2a)/(x+2) 在区间(－2，＋∞)上单调递增
<=> 1-2a < 0
<=> a > 1/2
实数a的取值范围是 (1/2, ＋∞)

追问

不是同一题..