Question

数学大神来！！！！

Answer 1

x=an f(x)=a(n+1)代入函数方程
a(n+1)=2an^2 +2an
2a(n+1) +1=4an^2+4an +1=(2an +1)^2
满足平方递推数列定义，因此数列{2an +1}是平方递推数列。

a1+1=3>0，若当n=k(k∈N+)时，ak>0，则a(k+1)=ak^2>0，k为任意正整数，因此对于任意正整数n，数列{2an +1}各项恒为正。
lg(2a1+1)=lg(4+1)=lg 5
2an +1=[2a(n-1)+1]^2
=[2a(n-2)+1]^(2^2)
=[2a(n-3)+1]^(2^3)
=......
=[2a1+1]^[2^(n-1)]
=(4+1)^[2^(n-1)]
=5^[2^(n-1)]
an=1/2[5^[2^(n-1)]-1]
lg(2an +1)=lg[5^[2^(n-1)]]=2^(n-1)lg5
lg[2a(n+1)+1]/lg(2an +1)=2^n/2^(n-1)=2，为定值，数列{lg(2an +1)}是以lg5为首项，2为公比的等比数列
lg(2an +1)=lg5×2^(n-1)=lg5*2^(n-1)
lg(Tn)=lg[(2a1+1)(2a2+1)...(2an +1)]
=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+...+lg(2an +1)
=lg5×(2ⁿ -1)/(2-1) /这一步不难理解吧，就是等比数列求和
=lg5*(2ⁿ-1)
Tn=5^(2^n-1)