Question

数学分析的一道简单的证明题，有关可微函数，求证是常值函数的问题 有答案提示，可是我还是不会，求帮助

Answer 1

偏导数打不出来，比如f对x的偏导数，用f'x表示。

证明：
设p=(p1, p2)
q=(q1,q2)
gradf=(f'x, f'y)

因为f'p=(gradf)*p / |p|=0
所以(gradf)*p=0
即(f'x)p1+(f'y)p2=0 (1)

同理，f'q=0可以得到
(f'x)q1+(f'y)q2=0 (2)

将(1)(2)看做关于f'x, f'y的方程组。
由于p,q线性无关，
所以方程组的系数矩阵|p1 p2|≠0
|q1 q2|

所以方程组只有零解。
所以f'x=f'y=0
所以f(x,y)是常函数

追问

因为f'p=(gradf)*p / |p| 这个有点难理解，能否解释一个呀

追答

这个是f'p指的是p向量方向的方向导数。
方向导数的计算方法，
比如L方向吧，L方向的一个方向向量为s,
那么他的单位向量为s/|s|

方向导数为f'L=gradf*s0=gradf*s/|s|