Question

如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0）， 将此三角板绕

如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0）， 将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．

Answer 1

（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的， 又A（0，1），B（2，0），O（0，0）， ∴A′（-1，0），B′（0，2）．----------（1分） 方法一： 设抛物线的解析式为：y=ax 2 +bx+c（a≠0）， ∵抛物线经过点A′、B′、B， ∴ 0=a-b+c 2=c 0=4a+2b+c ， 解得： a=-1 b=1 c=2 ， ∴满足条件的抛物线的解析式为y=-x 2 +x+2．----------（3分） 方法二：∵A′（-1，0），B′（0，2），B（2，0）， 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-2） 将B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0-2）， 解得：a=-1， 故满足条件的抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-2）=-x 2 +x+2； （2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点， 设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=-x 2 +x+2． 连接PB，PO，PB′， ∴S 四边形PB′A′B =S △B′OA′ +S △PB′O +S △POB ， = 1 2 ×1×2+ 1 2 ×2×x+ 1 2 ×2×y， =x+（-x 2 +x+2）+1， =-x 2 +2x+3．----------（5分） ∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为： 1 2 ×1×2=1， 假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则 4=-x 2 +2x+3， 即x 2 -2x+1=0， 解得：x 1 =x 2 =1， 此时y=-1 2 +1+2=2，即P（1，2）．----------（7分） ∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．----------（8分） （3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可． ①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等； ③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．----------（10分） 或用符号表示： ①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P ∥ A′B；④B′A′=PB．----------（10分）