Question

如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN ∥ BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠B CA的外角平

如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN ∥ BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠B CA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．

Answer 1

（1）OE=OF．理由如下： ∵CE是∠ACB的角平分线， ∴∠ACE=∠BCE， 又∵MN ∥ BC， ∴∠NEC=∠ECB， ∴∠NEC=∠ACE， ∴OE=OC， ∵CF是∠BCA的外角平分线， ∴∠OCF=∠FCD， 又∵MN ∥ BC， ∴∠OFC=∠ECD， ∴∠OFC=∠COF， ∴OF=OC， ∴OE=OF； （2）△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形． ∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO， 又∵EO=FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵FO=CO， ∴AO=CO=EO=FO， ∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF， ∴四边形AECF是矩形． 已知MN ∥ BC，当∠ACB=90°，则 ∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°， ∴AC⊥EF， ∴四边形AECF是正方形． （3）不可能． 如图所示， ∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ECF= 1 2 ∠ACB+ 1 2 ∠ACD= 1 2 （∠ACB+∠ACD）=90°， 若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC， 但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．