Question

如图所示，半径为R的14光滑圆弧轨道竖直放置，底端与光滑的水平轨道相接，质量为m2的小球B静止光滑水平轨

如图所示，半径为R的14光滑圆弧轨道竖直放置，底端与光滑的水平轨道相接，质量为m2的小球B静止光滑水平轨道上，其左侧连接了一轻质弹簧，质量为m1的小球A自圆弧轨道的顶端由静止释放，重力加速度为g，小球可视为质点．求：（1）小球A撞击轻质弹簧的过程中，弹簧的最大弹性势能为多少？（2）要使小球A与小球B能发生二次碰撞，m1与m2应满足什么关系？

Answer 1

（1）设A球到达圆弧底端时的速度为v₀，
由机械能守恒定律得：m₁gR=

1

2

m₁v₀²     …①
当A、B两球速度相同时，弹簧的弹性势能最大，
两球碰撞过程动量守恒，以A的速度方向为正方向，
由动量守恒定律得：m₁v₀=（m₁+m₂）v  ②，
根据机械能守恒定律有：E_Pm=

1

2

m₁v₀²-

1

2

（m₁+m₂）v²  …③
联立①②③解得：E_Pm=

m1m2

m1+m2

gR  …④；
（2）设A、B碰撞后的速度分别为v₁和v₂，碰撞过程动量守恒，
以A的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂  …⑤
由机械能守恒定律得：

1

2

m₁v₀²=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂² …⑥
联立⑤⑥解得：v₁=

m1?m2

m1+m2

v₀，v₂=

2m1

m1+m2

v₀；
要使A、B两球能发生二次碰撞，必须满足：|v₁|＞|v₂|…⑨
则有：-

m1?m2

m1+m2

＞

2m1

m1+m2

  …⑩
解得：m₁＜

1

3

m₂，（m₁+m₂＜0不符合事实，舍去）；
答：（1）小球A撞击轻质弹簧的过程中，弹簧的最大弹性势能为：

m1m2

m1+m2

gR；
（2）要使小球A与小球B能发生二次碰撞，m₁与m₂应满足什么关系为：m₁＜

1

3

m₂．