如图，已知以点A（2，-1）为顶点的抛物线经过点B（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点D为抛物线
如图，已知以点A（2，-1）为顶点的抛物线经过点B（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点D为抛物线对称轴与x轴的交点，点E为抛物线上一动点，过E作直线y=-2的...
如图，已知以点A（2，-1）为顶点的抛物线经过点B（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点D为抛物线对称轴与x轴的交点，点E为抛物线上一动点，过E作直线y=-2的垂线，垂足为N．①探索、猜想线段EN与ED之间的数量关系，并证明你的结论；②抛物线上是否存在点E使△EDN为等边三角形？若存在，请求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．提示：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝?b2a，顶点坐标是(?b2a， 4ac?b24a)
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解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k，∵抛物线的顶点A（2，-1）且过点B（4，0），∴y=a（x-2）2-1，
且0=4a-1，∴a＝
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∴抛物线的解析式为y＝
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（2）①猜想：DE=NE（5分）
证明：∵点D为抛物线对称轴与x轴的交点，
∴得D（2，0）
当点E与B重合时，
∵D（2，0），B（4，0），
∴ED=2，
∵过E作直线y=-2的垂线，垂足为N
∴EN=2，
∴DE=EN
当点E与O重合时，
∵D（2，0），
DE=2，EN=2，
∴DE=EN
当点E与A重合时，
∵A（2，-1），EN=2
∴DE=1，EN=1，
∴DE=EN（7分）
当点E不与B、O、A重合时，
设E点坐标为(x，
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在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2=（x-2）2+y2（8分）
又∵NE=y+2，∴NE2＝y2+4y+4＝y2+4(
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综上所述，DE=NE（10分）
②答：存在（11分）当点E在x轴上时△EDN为直角三角形，点E在x轴下方时△EDN为钝角三角形，所以只当E在x轴上方时△EDN才可能为等边三角形（注意：未作上述说明不扣分！）
理由一：若△EDN为等边三角形，∵DE=NE=DN，且EN⊥x轴，
∴EF=FN=2，∴y＝
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解得 x＝2±2
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∴点E的坐标为(2+2
| 3 |
| 3 |
理由二：若△EDN为等边三角形，∵DE=NE=DN，且EN⊥x轴，
∴∠EFD=30°，EF=FN=2（12分）
在Rt△DEF中，tan∠EFD＝
| EF |
| DF |
∴DF＝
| EF |
| tan∠EFD |
| 2 |
| tan30° |
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