Question

（2010?中山一模）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点

（2010?中山一模）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC．
在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD．
（Ⅱ）设正方形边长a，则SD＝

2

a．
又OD＝

2

2

a，所以∠SDO=60°，
连OP，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，
所以AC⊥OP，且AC⊥OD，所以∠POD
是二面角P-AC-D的平面角．
由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，
所以∠POD=30°，
即二面角P-AC-D的大小为30⁰．