如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D，交⊙O于点E（1）求证：CD是⊙O的切线
如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D，交⊙O于点E（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=2，AD=23，求⊙O的半径；（3）在...
如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D，交⊙O于点E（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=2，AD=23，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
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解答：
（1）证明：连接OC．
∵OA=OC（⊙O的半径），
∴∠OCA=∠OAC（等边对等角）；
又∵AC平分∠BAD，
∴∠OAC=∠CAD，
∴∠ACO=∠CAD（等量代换），
∴OC∥AD（内错角相等，两直线平行）；
而AD⊥CD，
∴OC⊥CD，即CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AD⊥CD，
∴在Rt△ADC中，
AC=
=4，
连接BC，则∠ACB=90°
∵∠DAC=∠OAC
∴△ADC∽△ACB
∴
＝
∴AB=
=
=
，
∴OB=
AB=
×
=
，
所以⊙O的半径为
．
（3）解：连接OE、OC，
则△OAE为等边三角形，
∴∠AOE=∠AEO=∠COE=60°，
∴扇形AOE的面积=扇形OCE的面积，
∴△AOE和梯形OCDE的高为：
?sin60°=
×
=2，
∴DE=AD-AE=2
-
=
，
所以图中阴影部分的面积=（扇形AOE的面积-△AOE的面积）+（梯形OCDE的面积-扇形OCE的面积）
=扇形AOE的面积-△AOE的面积+梯形OCDE的面积-扇形OCE的面积
=梯形OCDE的面积-△AOE的面积
=
×（
+
）×2-
×
×2=
（1）证明：连接OC．∵OA=OC（⊙O的半径），
∴∠OCA=∠OAC（等边对等角）；
又∵AC平分∠BAD，
∴∠OAC=∠CAD，
∴∠ACO=∠CAD（等量代换），
∴OC∥AD（内错角相等，两直线平行）；
而AD⊥CD，
∴OC⊥CD，即CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AD⊥CD，
∴在Rt△ADC中，
AC=
22+(2
|
连接BC，则∠ACB=90°
∵∠DAC=∠OAC
∴△ADC∽△ACB
∴
| AD |
| AC |
| AC |
| AB |
∴AB=
| AC2 |
| AD |
| 42 | ||
2
|
8
| ||
| 3 |
∴OB=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
8
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
所以⊙O的半径为
4
| ||
| 3 |
（3）解：连接OE、OC，
则△OAE为等边三角形，
∴∠AOE=∠AEO=∠COE=60°，
∴扇形AOE的面积=扇形OCE的面积，
∴△AOE和梯形OCDE的高为：
4
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
| ||
| 2 |
∴DE=AD-AE=2
| 3 |
4
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
所以图中阴影部分的面积=（扇形AOE的面积-△AOE的面积）+（梯形OCDE的面积-扇形OCE的面积）
=扇形AOE的面积-△AOE的面积+梯形OCDE的面积-扇形OCE的面积
=梯形OCDE的面积-△AOE的面积
=
| 1 |
| 2 |
4
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 1 |
| 2 |
4
| ||
| 3 |
2
|
