Question

已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是边AB上一点，AE⊥AB，且AE=BD，DE与AC相交于点F． （1）若点D是

已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是边AB上一点，AE⊥AB，且AE=BD，DE与AC相交于点F． （1）若点D是AB的中点（如图1），试判断△CDE的形状，并证明你的结论；（2）若点D不是AB的中点（如图2），那么（1）中的结论是否仍然成立？如果一定成立，请加以证明；如果不一定成立，请说明理由；（3）若AD=AC，那么△AEF是______三角形．

Answer 1

（1）△CDE是等腰直角三角形．…（1分）
在△ABC中，∠ACB=∠90°，AC=BC，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD=CD，且CD⊥AB，
又AE=BD，
∴AE=AD=CD，…（1分）
∵AE⊥AB，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形AECD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又AE=AD，
∴平行四边形AECD是矩形（一组邻边相等的平行四边形是矩形），
∵AE⊥AB，
∴∠EAD是直角，
∴矩形AECD是正方形（有一个角是直角的矩形是正方形），
∴△CDE是等腰直角三角形；

（2）（1）中的结论仍然成立，即△CDE是等腰直角三角形 …（1分）
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∵AE⊥AB，
∴∠CAE=90°-45°=45°，
∴∠CAE=∠CBD，
在△AEC与△BDC中

AE＝BD ∠CAE＝∠CBD AC＝AC

，
∴△AEC≌△BDC（SAS），
∴CE=CD（全等三角形对应边相等），∠ACE=∠BCD（全等三角形对应角相等），…（2分）
又∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠90°，
∴∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠90°，…（1分）
∴△CDE是等腰直角三角形；

（3）∵AD=AC，∠BAC=45°，
∴∠ACD=

1

2

（180°-45°）=67.5°，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°，
∴∠CFD=180°-∠CDE-∠ACD=180°-45°-67.5=67.5°，
∴∠AFE=∠CFD=67.5°，
∵∠CAE=45°，
∴∠AEF=180°-∠CAE-∠AFE=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形．      …（2分）
注：如有不同解法请相应给分