Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，点D为AB中点，点O为AC上一点，以O为圆心，半径为1cm的圆与A

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，点D为AB中点，点O为AC上一点，以O为圆心，半径为1cm的圆与AB相切，点E为切点．（1）求线段AO的长；（2）若将⊙O以1cm/s的速度移动，移动中的圆心记为P，点P沿O?C?B?A的路径运动，设移动的时间为t（s），则当t为何值时，⊙P与直线CD相切？

Answer 1

解答：解：（1）Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=5cm；
则sin∠A=

3

5

；
由于BA切⊙O于E，则∠OEA=90°；
在Rt△OEA中，AO=OE÷sin∠A=

5

3

cm．

（2）如图；
①当P位于线段OC上时，设⊙P与CD的切点为G，则P₁G⊥CD；
由于D是AB的中点，所以CD=DA，即∠DCA=∠A，
因此P₁C=OA=

5

3

cm，OP₁=AC-2OA=

2

3

cm，
∴t=

2

3

s；
②当P位于线段CB上时，设⊙P与CD的切点为H，则P₂H⊥CD；
同①可得：P₂C=

5

4

cm，因此P点运动的距离为：
OC+P₂C=

7

3

+

5

4

=

43

12

cm，即t=

43

12

s；
③当P位于线段BD上时，P₃M⊥CD，过B作BQ⊥CN于Q；
易知：S_△ABC=6cm²，由于D是AB中点，则S_△BCD=3cm²；
而CD=

1

2

AB=

5

2

cm，可求得CD边上的高为：BQ=

12

5

cm；
易知：△PDM∽△BDQ，则

P3M

BQ

＝

P3D

BD

，即

1

12 5

＝

P3D

5 2

，P₃D=

25

24

cm；
因此P₃B+BC+OC=

163

24

cm，即t=

163

24

s；
④当P位于线段AD上时，同③可求得t=

213

24

s；
综上可知：当t分别为

2

3

s、

43

12

s、

163

24

s、

213

24

s时，⊙P与直线CD相切．