Question

两题高数微分方程

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Answer 1

先求(1-x ^2)y'+xy=0通解
x/(x^2-1)dx=1/ydy
ln(x^2-1)=ln(cy^2)
y=士C根(x^2-1)
再求(1-x^2)y'+xy=1的-个特解。
观察，可发现y=ax^2+bx+c才能使左侧x^3系数为0。这种题我做了很多
设y=ax^2+bx+c
y'=2ax+b
(1-x^2)(2ax+b)+x(ax^2+bx+c)=1
(2a+c)x+b-ax^3=1
a=0, b=1, c=0
y=x是一个特解
通解为y=士C根(x^2-1)+x
x=0,y=1 1=士C C=土1
代入后平方得y^2-2xy+1=0

4.
设1/y^2=u u'=-2y'/y^3
y'-y=xy^3 y'/y^3-1/y^2=x
-u'/2-u=x
u'+2u=-2x
u'+2u=0
u=ce^(-2x)
y=Ce^x
设通解为y=ue^X
y'=(u'+u)e^x
(u'十u)e^x-ue^x=u^3(xe^(3x))
u'/(u^3)=xe^(2x)
du/u^3=xe^(2x)
-1/(2u^2)=(x/2-1/4)e^(2x)+c
又y=ue^x u^(-2)=e^(2x)/y^2 代入上式
e^(2x)[x+1/y^2-1/2]=C 即通解

以上是记不住y'+f(x)y=g(x)公式解法，有时要计算简单些。
公式推理；
y'+f(x)y=0
1/ydy=-f(x)dx
lny=-f f(x)dx
y=e^(-ff(x)dx)
设通解y=ue^(-ff(x)dx)
y'=(u'-uf(x))e^(-ff(x)dx)
y'+f(x)y=g(x), 将上式代入
u'e^(-ff(x)dx)=g(x)
u'=g(x)e^(ff(x)dx)
u=fg(x)e^(ff(x)dx)dx+c
y=e^(-ff(x)dx) . [fg(x)e^(ff(x)dx)dx+c]
以上积分不必带常数，即ff(x)dx不用带常数

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