Question

高数 定积分 第4题怎么做？

Answer 1

对左边的积分作换元，令t=ux，
则题中给出的等式化为 1/x ∫（0到x） f(t)dt = 1/2 f(x) +1，
整理即得 2∫（0到1）f(t)dt = xf(x) +2x，
对上式两边求导，得到 2f(x) = f(x) + xf ' (x) +2★
★是一阶线性微分方程，
解之可得通解为 f(x)=Cx +2，
用条件∫（0到1） f(x)dx=1 确定出C=-2，
故 f(x)=2-2x为所求。

追问

第5题怎么做？

为什么另t=ux后，右边不用换元？

第一条化为那里不懂

追答

【只是】对左边的积分作换元，得到一个与左边的积分【相等】的式子，
既然是【相等】，就把它放到原题中给出的等式左边，即【替代】了【原】等式的左边，
故得到【化为】的式子。