Question

已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB=DC，点P为BC边上一点，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分别为

已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB=DC，点P为BC边上一点，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分别为E、F、G．求证：PE+PF=BG．

Answer 1

证明：过点P作PH⊥BG，垂足为H，

∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，

∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°，

∴四边形PHGF是矩形，

∴PF=HG，PH ∥ CD，

∴∠BPH=∠C，

在等腰梯形ABCD中，∠PBE=∠C，

∴∠PBE=∠BPH，

∵∠PEB=∠BHP=90°，BP=PB，∠PBE=∠BPH，

∴△PBE≌△BPH（AAS），

∴PE=BH，

∴PE+PF=BH+HG=BG．