已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x-y-2=0的距离为 3 2 2

已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x-y-2=0的距离为322，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．... 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x-y-2=0的距离为 3 2 2 ，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x 0 ，y 0 ）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|?|BF|的最小值．展开

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（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x-y-2=0的距离 d=

|-c-2|

2

=

c+2

2

=

3

2

2

，解得c=1
所以抛物线C的方程为x² =4y
（2）设 A( x 1 ，

1

4

x

21

) ， B( x 2 ，

1

4

x

22

)
由（1）得抛物线C的方程为 y=

1

4

x 2 ， y′=

1

2

x ，所以切线PA，PB的斜率分别为

1

2

x 1 ，

1

2

x 2
所以PA： y-

1

4

x

21

=

1

2

x 1 (x- x 1 ) ①PB： y-

1

4

x

22

=

1

2

x 2 (x- x 2 ) ②
联立①②可得点P的坐标为 (

x 1 + x 2

2

，

x 1 x 2

4

) ，即 x 0 =

x 1 + x 2

2

， y 0 =

x 1 x 2

4

又因为切线PA的斜率为

1

2

x 1 =

y 0 -

1

4

x

21

x 0 - x 1

，整理得 y 0 =

1

2

x 1 x 0 -

1

4

x

21

直线AB的斜率 k=

1

4

x

21

-

1

4

x

22

x 1 - x 2

=

x 1 + x 2

4

=

x 0

2

所以直线AB的方程为 y-

1

4

x

21

=

1

2

x 0 (x- x 1 )
整理得 y=

1

2

x 0 x-

1

2

x 1 x 0 +

1

4

x

21

，即 y=

1

2

x 0 x- y 0
因为点P（x₀ ，y₀ ）为直线l：x-y-2=0上的点，所以x₀ -y₀ -2=0，即y₀ =x₀ -2
所以直线AB的方程为 y=

1

2

x 0 x- x 0 +2
（3）根据抛物线的定义，有 |AF|=

1

4

x

21

+1 ， |BF|=

1

4

x

22

+1
所以 |AF|?|BF|=(

1

4

x

21

+1)(

1

4

x

22

+1)=

1

16

x

21

x

22

+

1

4

(

x

21

+

x

22

)+1 =

1

16

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