Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A为切点，BP与⊙O交于点C，D为AP的中点．求证：CD是⊙O的切线

如图，已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A为切点，BP与⊙O交于点C，D为AP的中点．求证：CD是⊙O的切线．

Answer 1

证明：连结OC、OD、AC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴△ACP为直角三角形，
而D为AP的中点，
∴DC=DA，
在△OAD和△OCD中，

OA＝OC OD＝OD DA＝DC

，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠OAD=∠OCD，
∵AP是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠OAD=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．