Question

设函数f（x）=x2+|2x-a|（x∈R，a为实数）．（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值； （2）设a＞2，求函数f

设函数f（x）=x2+|2x-a|（x∈R，a为实数）．（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值； （2）设a＞2，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

（1）由已知f（-x）=f（x），即|2x-a|=|2x+a|，解得a=0
（2）f(x)＝

x2+2x?a，x≥ 1 2 a x2?2x+a，x＜ 1 2 a

当x≥

1

2

a时，f（x）=x²+2x-a=（x+1）²-（a+1）
由a＞2，x≥

1

2

a，得x＞1，从而x＞-1
故f（x）在x≥

1

2

a时单调递增，f（x）的最小值为f(

a

2

)＝

a2

4

当x＜

1

2

a时，f（x）=x²-2x+a=（x-1）²+（a-1）
故当1＜x＜

a

2

时，f（x）单调递增，当x＜1时，f（x）单调递减
则f（x）的最小值为f（1）=a-1
由

a2

4

?(a?1)＝

(a?2)2

4

＞0，知f（x）的最小值为a-1．