Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K，连接AC，且KG2=KD?GE．（Ⅰ）求证：KE=GE；（Ⅱ）求证：AC∥EF．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接OG，如下图所示：

∵EF为⊙O的切线，
∴OG⊥EF，
∴∠OGA+∠KGE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠OAG+∠HKA=90°，
∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠HKA=∠GKE，
∴KE=GE．（5分）
（Ⅱ）连接DG，BC，
∵KG²=KD?GE，
∴

KG

KD

＝

KE

KG

，
∵∠DKG=∠GKE，
∴△KDG∽△KGE
∴∠AGD=∠E，
又∵∠AGD=∠ACD，
∴∠ACD=∠E．
∴AC∥EF．（10分）