Question

（2012?泉州模拟）如图：点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A-D1PC

（2012?泉州模拟）如图：点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A-D1PC的体积不变；②A1P∥面ACD1；③DP⊥BC1；④面PDB1⊥面ACD1．其中正确的命题的序号是______．

Answer 1

对于①，容易证明AD₁∥BC₁，从而BC₁∥平面AD₁C，故BC₁上任意一点到平面AD₁C的距离
均相等，所以以P为顶点，平面AD₁C为底面，则三棱锥A-D₁PC的体积不变；正确；
对于②，连接A₁B，A₁C₁容易证明A₁C₁∥AD₁且相等，由于①知：AD₁∥BC₁，
所以BA₁C₁∥面ACD₁，从而由线面平行的定义可得；正确；
对于③由于DC⊥平面BCB₁C₁，所以DC⊥BC₁，若DP⊥BC₁，则BC₁⊥平面DCP，
BC₁⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾；错误；
对于④，连接DB₁，由DB₁⊥AC且DB₁⊥AD₁，可得DB₁⊥面ACD₁，从而由面面垂直的判定知：④正确．
故答案为：①②④

Answer 2

对于①，容易证明AD₁∥BC₁，从而BC₁∥平面AD₁C，故BC₁上任意一点到平面AD₁C的距离
均相等，所以以P为顶点，平面AD₁C为底面，则三棱锥A-D₁PC的体积不变；正确；
对于②，连接A₁B，A₁C₁容易证明A₁C₁∥AD₁且相等，由于①知：AD₁∥BC₁，
所以BA₁C₁∥面ACD₁，从而由线面平行的定义可得；正确；
对于③由于DC⊥平面BCB₁C₁，所以DC⊥BC₁，若DP⊥BC₁，则BC₁⊥平面DCP，
BC₁⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾；错误；
对于④，连接DB₁，由DB₁⊥AC且DB₁⊥AD₁，可得DB₁⊥面ACD₁，从而由面面垂直的判定知：④正确．
故答案为：①②④