Question

（2010?哈尔滨模拟）如图，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4AD=CD=2，将△ADC沿AC折起，使平

（2010?哈尔滨模拟）如图，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4AD=CD=2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图所示．（1）求证：BC⊥平面ACD（2）求BD与平面ABC所成角θ的正弦值．

Answer 1

（1）法一：由于AC=BC=2

2

，从而AC²+BC²=AB²故AC⊥BC，
取AC中点O，连接DO，则DO⊥AC，
又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，DO?平面ACD，从而DO⊥平面ABC，
∴DO⊥BC，又DO∩AC=O，
∴BC⊥平面ACD
法二：由于AC=BC=2

2

，从而AC²+BC²=AB²故AC⊥BC，
∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，从而得BC⊥平面ACD
（2）作DH⊥AC于H，连接HB，∵平面ADC⊥平面ABC，且DH?平面ACD，
∴DH⊥平面ABC，
∴∠DBH即为BD与平面ABC所成角θ
∴sinθ=sin∠DBH=

DH

DB

=

2

2 3

=

6

6