Question

已知在等比数列{an}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满

已知在等比数列{an}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足b1+2b2+3b3+…+nbn=an（n∈N*），求{bn}的通项公式bn．

Answer 1

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，由a₂是a₁和a₃-1的等差中项得：
2a₂=a₁+a₃-1，∴2a1q＝a1+a1q2?1，
∴2q=q²，∵q≠0，∴q=2，
∴an＝2n?1；
（2）n=1时，由b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=a_n，得b₁=a₁=1．
n≥2时，由b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=a_n ①
b₁+2b₂+3b₃+…+（n-1）b_n-1=a_n-1②
①-②得：nbn＝an?an?1＝2n?1?2n?2＝2n?2．
bn＝

2n?2

n

，
∴bn＝

1，n＝1 2n?2 n ，n≥2

．