Question

（2014?黔东南州）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（12，52）和B（4，m），点P是线段A

（2014?黔东南州）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（12，52）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

Answer 1

（1）∵B（4，m）在直线线y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴B（4，6），
∵A（

1

2

，

5

2

）、B（4，6）在抛物线y=ax²+bx+6上，
∴

5 2 ＝( 1 2 )2a+ 1 2 b+6 6＝16a+4b+6

，解得

a＝2 b＝?8

，
∴抛物线的解析式为y=2x²-8x+6．

（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n²-8n+6），
∴PC=（n+2）-（2n²-8n+6），
=-2n²+9n-4，
=-2（n-

9

4

）²+

49

8

，
∵PC＞0，
∴当n=

9

4

时，线段PC最大且为

49

8

．

（3）∵直线AB为y=x+2，
∴当∠PAC=90°时，设直线AC的解析式为y=-x+b，
把A（

1

2

，

5

2

）代入得：

5

2

=-

1

2

+b，解得：b=3，
∴直线AC解析式：y=-x+3，
点C在抛物线上，设C（m，2m²-8m+6），代入y=-x+3得：2m²-8m+6=-m+3，
整理得：2m²-7m+3=0，
解得；m=3或m=

1

2

（舍去）
∴P（3，5），
当∠PCA=90°时，把y=

5

2

代入y=2x²-8x+6，得x=

7

2

，
x=

7

2

代入y=x+2得：y=

11

2

，
∴P（

7

2

，

11

2

），
所以P的坐标为（3，5）或（

7

2

，

11

2

），