(2014?黔东南州)如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(12,52)和B(4,m),点P是线段A
(2014?黔东南州)如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(12,52)和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴...
(2014?黔东南州)如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(12,52)和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值,若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;(3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标.
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(1)∵B(4,m)在直线线y=x+2上,
∴m=4+2=6,
∴B(4,6),
∵A(
,
)、B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上,
∴
,解得
,
∴抛物线的解析式为y=2x2-8x+6.
(2)设动点P的坐标为(n,n+2),则C点的坐标为(n,2n2-8n+6),
∴PC=(n+2)-(2n2-8n+6),
=-2n2+9n-4,
=-2(n-
)2+
,
∵PC>0,
∴当n=
时,线段PC最大且为
.
(3)∵直线AB为y=x+2,
∴当∠PAC=90°时,设直线AC的解析式为y=-x+b,
把A(
,
)代入得:
=-
+b,解得:b=3,
∴直线AC解析式:y=-x+3,
点C在抛物线上,设C(m,2m2-8m+6),代入y=-x+3得:2m2-8m+6=-m+3,
整理得:2m2-7m+3=0,
解得;m=3或m=
(舍去)
∴P(3,5),
当∠PCA=90°时,把y=
代入y=2x2-8x+6,得x=
,
x=
代入y=x+2得:y=
,
∴P(
,
),
所以P的坐标为(3,5)或(
,
),
∴m=4+2=6,
∴B(4,6),
∵A(
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∴
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∴抛物线的解析式为y=2x2-8x+6.
(2)设动点P的坐标为(n,n+2),则C点的坐标为(n,2n2-8n+6),
∴PC=(n+2)-(2n2-8n+6),
=-2n2+9n-4,
=-2(n-
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∵PC>0,
∴当n=
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(3)∵直线AB为y=x+2,
∴当∠PAC=90°时,设直线AC的解析式为y=-x+b,
把A(
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∴直线AC解析式:y=-x+3,
点C在抛物线上,设C(m,2m2-8m+6),代入y=-x+3得:2m2-8m+6=-m+3,
整理得:2m2-7m+3=0,
解得;m=3或m=
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∴P(3,5),
当∠PCA=90°时,把y=
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x=
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∴P(
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所以P的坐标为(3,5)或(
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