Question

已知g（x）=mx+2，f（x）=x2-3x2?4x2，若对任意的x1∈[-1，2]，总存在x2∈[1，3]，使得g（x1）＞f（x2）

已知g（x）=mx+2，f（x）=x2-3x2?4x2，若对任意的x1∈[-1，2]，总存在x2∈[1，3]，使得g（x1）＞f（x2），则实数m的取值范围是（-12，1）（-12，1）．

Answer 1

∵x∈[1，

3

]，∴x²∈[1，3]，∴f（x）=x²-

3x2?4

x2

=x²+

4

x2

-3≥2-3=1，
当且仅当x²=

4

x2

，即x²=2时取等号．∴f（x）_最小值=1，
命题“对任意的x₁∈[-1，2]，总存在x₂∈[1，

3

]，使得g（x₁）＞f（x₂）”?g（x）_最小值＞f（x）_最小值
只要g（x）_最小值＞1即可．
当m＞0时，g（x）=mx+2是增函数，
对任意的x₁∈[-1，2]，g（x）_min=g（-1）=2-m．
由题设知2-m＞1，解得m＜1，
∴0＜m＜1．
当m＜0时，g（x）=mx+2是减函数，
对任意的x₁∈[-1，2]，g（x）_min=g（2）=2m+2．
由题设知2m+2＞1，解得m＞-

1

2

，
∴-

1

2

＜m＜0．
当m=0时，g（x）=2＞1，成立．
综上所述，m∈（-

1

2

，1）．
故答案为：（-

1

2

，1）．