Question

已知，△ABC是等边三角形，点D为直线BC上一点（端点B、C除外），以AD为边作等边△ADF，连接CF．（1）如图

已知，△ABC是等边三角形，点D为直线BC上一点（端点B、C除外），以AD为边作等边△ADF，连接CF．（1）如图1，点D在点C右边，①求证：BD=CF；②求∠FCD的度数；（2）如图2，点D在点B左边，点F在直线BC下方，请先补全图形，并直接给出∠AFC与∠DAC之间满足的数量关系式为______．

Answer 1

解答：（1）①证明：∵△ABC和△ADF都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中

AB＝AC ∠BAD＝∠CAF AD＝AF

，
∴△ABD≌△ACF，
∴BF=CF；
②解：∵△ABD≌△ACF，
∴∠ACF=∠ABD=60°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠FCD=180°-（∠ACB+∠ACF）=60°；
（2）解：如图；  
∵△ABC和△ADF都是等边三角，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠BAC-∠BAF=∠DAF+∠BAF，
即∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中

AB＝AC ∠BAD＝∠CAF AD＝AF

，
∴△ABD≌△ACF，
∴∠ADB=∠AFC，∠DAB=∠FCA，
∴∠AFC+∠DAC=∠ADB+∠DAB+∠BAC=∠ABC+∠BAC=60°+60°=120°．
故答案为∠AFC+∠DAC=120°．