Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且 cosA= 1 3 ．（1）求cos（B+C）+cos2A的值；

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且 cosA= 1 3 ．（1）求cos（B+C）+cos2A的值；（2）若 a= 3 ，求b?c的最大值．

Answer 1

（1）∵cosA= 1 3 ，且A+B+C=π， ∴cos（B+C）+cos2A =cos（π-A）+cos2A =-cosA+2cos 2 A-1 =- 1 3 +2× ( 1 3 ) 2 -1 =- 10 9 ； （2）由根据余弦定理得：cosA= b 2 + c 2 - a 2 2bc ，又cosA= 1 3 ， ∴ b 2 + c 2 - a 2 2bc = 1 3 ， ∴ 2 3 bc= b 2 + c 2 - a 2 ≥2bc- a 2 ， 又∵ a= 3 ，∴ bc≤ 9 4 ， 当且仅当b=c= 3 2 时，bc= 9 4 ， 则bc的最大值是 9 4 ．