Question

已知函数f（x）对任意的x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＜0时，f（x）＞0．（1）求证：函f（x

已知函数f（x）对任意的x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＜0时，f（x）＞0．（1）求证：函f（x）是奇函数；（2）求证：函数f（x）是R上的减函数；（3）若定义在（-2，2）上的函数f（x）满足f（-m）+f（1-m）＜0，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵f（x+y）=f（x）+f（y） ∴令x=y=0 有f （0 ）=0 令y=-x 有：0=f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x） ∴函数f（x）是奇函数；…（5分） （2）证明：设x 2 ＞x 1 则x 1 -x 2 ＜0 ∵当x＜0时，f（x）＞0 ∴f（x 1 -x 2 ）＞0 ∴f（x 1 ）=f[（x 1 -x 2 ）+x 2 ]=f（x 1 -x 2 ）+f（x 2 ）＞f（x 2 ） ∴函数f（x）是R上的减函数 （3）∵f（-m）+f（1-m）＜0，∴f（-m）＜f（m-1）， 且f（-m）+f（1-m）=f（1-2m） ∴ -2＜-m＜2 -2＜1-m＜2 -2＜1-2m＜2 -m＞m-1 ，解得：- 1 2 ＜m＜ 1 2 ．…（16分）