Question

函数fn（x）=xn+bx+c（n∈Z，b，c∈R）．（1）若n=-1，函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，求实

函数fn（x）=xn+bx+c（n∈Z，b，c∈R）．（1）若n=-1，函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，求实数b的取值范围；（2）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，|f2（x1）-f2（x2）|≤4恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

（1）n=-1时，f(x)＝

1

x

+bx+c
任设x₁＞x₂≥2，f(x1)?f(x2)＝

1

x1

+bx1+c?(

1

x2

+bx2+c)=

(x1?x2)(bx1x2?1)

x1x2

，
∵x₁＞x₂≥2，
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0，
因为函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，故恒有f（x₁）＞f（x₂），
从而恒有bx₁x₂-1＞0，即恒有b＞

1

x1x2

，
当x₁＞x₂≥2时，x₁x₂＞4，
∴

1

x1x2

＜

1

4

，
∴b≥

1

4

．
（2）当n=2时f2(x)＝x2+bx+c
对任意x₁，x₂∈[-1，1]有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4恒成立等价于f₂（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤4，
当?

b

2

＜?1，即b＞2时，f₂（x）在x∈[-1，1]上单调递增，
∴f₂（x）_min=f₂（-1）=1-b+c，f₂（x）_max=f₂（1）=1+b+c，
∴M=2b＞4，与题设矛盾；
当?1≤?

b

2

≤0，即0≤b≤2时，f₂（x）在x∈[?1，?

b

2

]上单调递减，在x∈[?

b

2

，1]上单调递增，
∴f2(x)min＝f2(?

b

2

)＝?

b2

4

+c，f₂（x）_max=f₂（1）=1+b+c，
∴M＝(

b

2

+1)2≤4恒成立，
∴0≤b≤2；
当0＜?

b

2

≤1，即-2≤b＜0时，f₂（x）在x∈[?1，?

b

2

]上单调递减，在x∈[?

b

2

，1]上单调递增，
∴