设函数f（x）=x（x-1）2，x＞0．（1）求f（x）的极值；（2）设函数g（x）=lnx-2x2+4x+t（t为常数），若使
设函数f（x）=x（x-1）2，x＞0．（1）求f（x）的极值；（2）设函数g（x）=lnx-2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上...
设函数f（x）=x（x-1）2，x＞0．（1）求f（x）的极值；（2）设函数g（x）=lnx-2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值；（3）讨论方程f(x)2x+x?12?alnx＝0的解的个数，并说明理由．
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（1）f′（x）=（3x-1）（x-1），令f′（x）=0得x1=
，x2=1，
f（x）在区间（0，
），(
，1)（1，+∞）分别单调增，单调减，单调增，
所以当x=
时，有极大值f（
）=
，x=1时，有极小值f（1）=0；
（2）由已知得h1（x）=x+m-g（x）=2x2-3x-1nx+m-t≥0在（0，+∝）上恒成立，由h1′（x）=
得x∈（0，1）时，h1（x）＜0时，x∈（1，+∞）时，h1（x）＞0，故x=1，函数h1（x）取得最小值．从而m≥t+1；
同样地，h2（x）=f（x）-x-m=x3-2x2-m≥0在（0，+∞）上恒成立，
求得t+1≤m≤?
由m的唯一性，知t=?
，m=?
（3）记p（x）=
+x?
?alnx=
x2?alnx
①当a=0时，p（x）在定义域（0，+∞）上恒大于0，此时方程无解；
②当a＜0时，p（x）在定义域（0，+∞）上为增函数．
p（e
）=
e
-1＜0，p（1）＞0，所以此时方程有唯一解．
③当a＞0时，p′（x）=x-
=
，
当x∈(0，
)时，p′（x）＜0，p（x）在(0，
)上为减函数，
当x∈(
| 1 |
| 3 |
f（x）在区间（0，
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
所以当x=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 27 |
（2）由已知得h1（x）=x+m-g（x）=2x2-3x-1nx+m-t≥0在（0，+∝）上恒成立，由h1′（x）=
| (4x+1)(x?1) |
| x |
得x∈（0，1）时，h1（x）＜0时，x∈（1，+∞）时，h1（x）＞0，故x=1，函数h1（x）取得最小值．从而m≥t+1；
同样地，h2（x）=f（x）-x-m=x3-2x2-m≥0在（0，+∞）上恒成立，
求得t+1≤m≤?
| 32 |
| 27 |
由m的唯一性，知t=?
| 59 |
| 27 |
| 32 |
| 27 |
（3）记p（x）=
| f(x) |
| 2x |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
①当a=0时，p（x）在定义域（0，+∞）上恒大于0，此时方程无解；
②当a＜0时，p（x）在定义域（0，+∞）上为增函数．
p（e
| 1 |
| a |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| a |
③当a＞0时，p′（x）=x-
| a |
| x |
| x2?a |
| x |
当x∈(0，
| a |
| a |
当x∈(
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