Question

求证：（Cn0）2+（Cn1）2+（Cn2）2+…+（Cnn）2=C2nn

求证：（Cn0）2+（Cn1）2+（Cn2）2+…+（Cnn）2=C2nn．

Answer 1

证明：由（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ=（1+x）²ⁿ，两边展开得：
（C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_n^m-1x^n-1+C_nⁿxⁿ）?（C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_n^n-1x^n-1+C_nⁿxⁿ）=C_2n⁰+C_2n¹x+C_2n¹x²+…+C_2n²ⁿx²ⁿ
比较等式两边xⁿ的系数，它们应当相等，所以有：
C_n⁰?C_nⁿ+C_n¹?C_n^n-1+C_n²?C_n^n-2+…+C_nⁿ?C_n⁰=C_2nⁿ
由C_n^r=C_n^n-r，
得（C_n⁰）²+（C_n¹）²+（C_n²）²+…+（C_nⁿ）²=C_2nⁿ．

Answer 2

这个题目有简单的证明方法。纯代数方法不太好证。
问题：假设一个篮子里共有n个红球和n个篮球，则从篮子里取出n个球的组合共有多少种？
这个问题有两个思路去解，第一种是最简单的就是C2nn；
第二种思路的话就是分类，按照取出n个球中篮球的个数共分为（n+1）种，如下：
篮球个数为0的种类为[Cn0]×[Cnn]=（Cn0)2
篮球个数为1的种类为[Cn1]×[Cn（n-1）]=(Cn1)2
……
……
篮球个数为m的种类为[Cnm]×[Cn(n-m)]=（Cnm)2

则从篮子里取出n个球的组合数=（Cn0）2+（Cn1）2+（Cn2）2+…+（Cnn）2
显然此和式=C2nn
我想这个你应该能理解，很容易的。