Question

（2014?如东县模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O 上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），过点P

（2014?如东县模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O 上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q．（1）点D在线段PQ上，且DQ=DC．求证：CD是⊙O的切线；（2）若sin∠Q=35，BP=6，AP=2，求QC的长．

Answer 1

解：（1）如图，连结OC．
∵DQ=DC，
∴∠Q=∠QCD．
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB．
∵QP⊥BP，
∴∠QPB=90° 即∠B+∠Q=90°，
∴∠QCD+∠OCB=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD⊥OC，即CD是⊙O的切线；

（2）如图，作OH⊥BC，H为垂足．
∵BP=6，AP=2，
∴AB=8，OB＝

1

2

AB＝4．
在Rt△BQP中，sinQ=

BP

BQ

＝

6

BQ

=

3

5

，
∴BQ=10，cos∠B=sin∠Q=

3

5

在Rt△BHO中，cos∠B=

BH

BO

＝

BH

4

＝

3

5

，
∴BH＝

12

5

．
∵OH⊥BC，
∴BC＝2BH＝2×

12

5

＝

24

5

，
∴CQ=BQ-BC=

26

5

．
（法二：连结AC，证△ABC∽△QBP，得

BC

BP

＝

AB

BQ

，

BC

6

＝

8

10

，BC＝

24

5

∴CQ=BQ-BC=

26

5

）．