Question

如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC，E为BC边的中点，过点B作BD⊥AB交AE的延长线于点D，CG平分∠ACB交AD于点G

如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC，E为BC边的中点，过点B作BD⊥AB交AE的延长线于点D，CG平分∠ACB交AD于点G，CF⊥AD交AB于F，求证：BF=CG；CF=2DE．

Answer 1

解答：证明：（1）∵∠ACB=90°，CG平分∠ACB，
∴∠ACG=∠BCG=45°，
又∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBF=∠ACG=45°，
∴∠BCF=∠BCG，
∵∠BCF+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAG=90°，
∴∠BCF=∠CAG，
在△BFC与△ACG中，

∠BCF＝∠CAG BC＝AC ∠CBF＝∠ACG

，
∴△BFC≌△ACG（ASA），
∴AF=CG；
（2）延长CG交AB于H，

∵CG平分∠ACB，AC=BC，
∴CH⊥AB，CH平分AB，
∵BD⊥AB，
∴BD∥CG，
在△BDE与△CGE中，

∠BED＝∠CEG ∠D＝∠EGC AE＝CE

，
∴△BDE≌△CGE（AAS），
∴DE=GE，
即DG=2DE，
∵AD∥CG，CH平分AB，
∴DG=AG，
∵△BFC≌△ACG，
∴CF=AG，
∴CF=2DE．