Question

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，若在椭圆的右准线上存在一点P，使得线段PA的中

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，若在椭圆的右准线上存在一点P，使得线段PA的中垂线过点F，则该椭圆离心率e的取值范围为[12，1)[12，1)．

Answer 1

设P(

a2

c

，t)，∵A（-a，0），∴线段PA的中点M(

a2?ac

2

，

t

2

)．
∵线段PA的中垂线过点F（c，0），∴

AP

?

MF

＝0，化为t2＝

(a2+ac)(2c2+ac?a2)

c2

≥0，
∴2e²+e-1≥0，解得e≥

1

2

．
又∵e＜1．
∴该椭圆离心率e的取值范围为[

1

2

，1)．
故答案为[

1

2

，1)．