Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E在第一象限内的此抛物线上，且OE⊥BC于D，求点E的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PA与PE之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）根据题意，得A（-2，0）、C（0，3）．
∵抛物线y＝?

1

2

x2+bx+c过A（-2，0）、C（0，3）两点，
∴

?2?2b+c＝0 c＝3

解得

b＝ 1 2 c＝3

∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

1

2

x+3．

（2）由y=-

1

2

x²+

1

2

x+3可得B点坐标为（3，0）．
∴OB=OC=3．
∵OD⊥BC，
∴OD平分∠BOC．（4分）
∴点E的横坐标等于纵坐标．
设E（x，y）．
解方程组

y＝x y＝? 1 2 x2+ 1 2 x+3

得

x1＝2 y1＝2

，

x2＝?3 y2＝?3

∴点E的坐标为（2，2）．

（3）在抛物线的对称轴上存在一点P，
使线段PA与PE之差的值最大．
当点P为抛物线的对称轴x＝

1

2

和BE所在的直线y=-2x+6的交点时，
PA-PE=PB-PE=BE，其值最大．
BE=

12+22

=

5

．（6分）
由

x＝ 1 2 y＝?2x+6

解得

x＝ 1 2 y＝5

∴点P的坐标为（

1

2

，5）．
∴点P为（

1

2

，5）时PA-PE的最大值为

5

．