Question

已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，请你探索以下

已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，请你探索以下问题：（1）若点P在一边BC上（图1），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的关系______，（2）若当点P在△ABC内（图2），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的关系______（3）若点P在△ABC外（图3），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的关系______，请写出你的猜想，并选以上3种中的一种情况说明理由．

Answer 1

（1）h=h₁+h₂，理由如下：
连接AP，则 S_△ABC=S_△ABP+S_△APC
∴

1

2

BC?AM=

1

2

AB?PD+

1

2

AC?PF
即

1

2

BC?h=

1

2

AB?h₁+

1

2

AC?h₂
又∵△ABC是等边三角形
∴BC=AB=AC，
∴h=h₁+h₂．

（2）h=h₁+h₂+h₃ ，理由如下：
连接AP、BP、CP，则 S_△ABC=S_△ABP+S_△BPC+S_△ACP
∴

1

2

BC?AM=

1

2

AB?PD+

1

2

AC?PF+

1

2

BC?PE
即

1

2

BC?h=

1

2

AB?h₁+

1

2

AC?h₂+

1

2

BC?h₃
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC．
∴h=h₁+h₂+h₃．

（3）h=h₁+h₂-h₃．
理由如下：连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC-S_△PBC，
即

1

2

BC?AM=

1

2

AB?PD+

1

2

AC?PE-

1

2

BC?PF，
∵AB=BC=AC，
∴h₁+h₂-h₃=h，
即h₁+h₂-h₃=h．