Question

高二数学题

已知函数f（x）=x^3-3x^2+ax+2，曲线y=f（x）在（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2
⑴求a的值；
⑵证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点

Answer 1

(1)解：f′(x)＝3x^2－6x＋a，f′(0)＝a.

曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为y＝ax＋2.

由题设得－2/a＝－2，所以a＝1.

(2)证明：由(1)知，f(x)＝x^3－3x^2＋x＋2.

设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x^3－3x^2＋(1－k)x＋4.

由题设知1－k＞0.

当x≤0时，g′(x)＝3x^2－6x＋1－k＞0，g(x)单调递增，

g(－1)＝k－1＜0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一实根．

当x＞0时，令h(x)＝x^3－3x^2＋4，

则g(x)＝h(x)＋(1－k)x＞h(x)．

h′(x)＝3x^2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，

所以g(x)＞h(x)≥h(2)＝0.

所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根．

综上，g(x)＝0在R有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．

图片版如下：

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