Question

已知函数f(x)＝cos(2x?π3)+sin2x?cos2x．（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（II）设函数g(

已知函数f(x)＝cos(2x?π3)+sin2x?cos2x．（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（II）设函数g(x)＝f(x2)+2，求g（x）在区间[0，π]上的最小值及取得最小值时x的值．

Answer 1

（I）∵f(x)＝

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin2x?cos2x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x?cos2x
=sin(2x?

π

6

)．
∴函数的最小正周期T＝

2π

2

＝π．
由2kπ?

π

2

≤2x?

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得2kπ?

π

3

≤2x≤2kπ+

2π

3

，k∈Z．
即kπ?

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ?

π

6

，kπ+

π

3

]k∈Z．
（II）∵g(x)＝f(

1

2

x)+2＝sin(x?

π

6

)+2
而0≤x≤π，所以?

π

6

≤x?

π

6

≤

5π

6

．
∴当x?

π

6

＝?

π

6

，即x=0时，
g（x）取得最小值-

1

2

+2=

3

2

．
∴g（x）在区间[0，π]上的最小值为

3

2

，取得最小值时x的值为0