Question

已知函数f（x）=-1+loga（x+2）（a＞0，且a≠1），g（x）=(12)x?1．（1）函数y=f（x）的图象恒过定点A，

已知函数f（x）=-1+loga（x+2）（a＞0，且a≠1），g（x）=(12)x?1．（1）函数y=f（x）的图象恒过定点A，求A点坐标；（2）若函数F（x）=f（x）-g（x）的图象过点（2，12），证明：方程F（x）=0在x∈（1，2）上有唯一解．

Answer 1

（1）由log_a1=0可得f（-1）=-1+log_a1=-1，故A（-1，-1）
（2）∵F(x)＝?1+loga(x+2)?(

1

2

)x?1过(2，

1

2

)
∴a=2
∴F(x)＝?1+log2(x+2)?(

1

2

)x?1
∵y＝log2(x+2)，y＝(

1

2

)x?1分别为（-2，+∞）上的增函数和减函数
∴F（x）为（-2，+∞）上的增函数
∴F（x）在（-2，+∞）上至多有一个零点
又（1，2）?（-2，+∞）
∴F（x）在（1，2）上至多有一个零点
而F(2)＝?1+2?(

1

2

)+1＝

1

2

＞0F(1)＝?1+log23?(

1

2

)0＝log23?2＜0
∴F（x）=0在（1，2）上有唯一解