定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M 成立，则称f（x）是D上的
定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函f（x）的一个上界．已知函数f（x）...
定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M 成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函f（x）的一个上界．已知函数f（x）=1+a(12)x+(14)x，g（x）=log121?axx?1．（1）若函数g（x）为奇函数，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，求函数g（x），在区间[53，3]上的所有上界构成的集合；（3）若函数g（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
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（1）∵函数g（x）为奇函数，
∴g（-x）=-g（x），即log
=-log
．，
即
＝
，得a=±1，而当a=1时不合题意，故a=-1．…（4分）
（2）由（1）得：g（x）=log
，
∵函数g（x）=log
在区间（1，+∞）上单调递增，
∴函数g（x）=log
在区间[
，3]上单调递增，
∴函数g（x）=log
在区间[
，3]上的值域为[-2，-1]，
∴|g（x）|≤2，
故函数g（x）在区间[
，3]上的所有上界构成集合为[2，+∞）．…（8分）
（3）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．
∴-3≤f（x）≤3，
∴-4-(
)x≤a(
)x≤2-(
)x，
∴-4?2x-(
)x≤a≤2?2x-(
)x在[0，+∞）上恒成立． …（10分）
设t=2x，t≥1，h（t）=-4t-
，p（t）=2t-
，
则h′（t）=-4+
＜0，p′（t）=2+
∴g（-x）=-g（x），即log
| 1 |
| 2 |
| 1+ax |
| ?x?1 |
| 1 |
| 2 |
| 1?ax |
| x?1 |
即
| 1+ax |
| ?x?1 |
| x?1 |
| 1?ax |
（2）由（1）得：g（x）=log
| 1 |
| 2 |
| 1+x |
| x?1 |
∵函数g（x）=log
| 1 |
| 2 |
| 1+x |
| x?1 |
∴函数g（x）=log
| 1 |
| 2 |
| 1+x |
| x?1 |
| 5 |
| 3 |
∴函数g（x）=log
| 1 |
| 2 |
| 1+x |
| x?1 |
| 5 |
| 3 |
∴|g（x）|≤2，
故函数g（x）在区间[
| 5 |
| 3 |
（3）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．
∴-3≤f（x）≤3，
∴-4-(
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
∴-4?2x-(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
设t=2x，t≥1，h（t）=-4t-
| 1 |
| t |
| 1 |
| t |
则h′（t）=-4+
| 1 |
| t2 |
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