Question

已知椭圆C：x24+y23＝1的左焦点为F，过F点的直线l交椭圆于A，B两点，P为线段AB的中点，当△PFO的面积最大

已知椭圆C：x24+y23＝1的左焦点为F，过F点的直线l交椭圆于A，B两点，P为线段AB的中点，当△PFO的面积最大时，求直线l的方程．

Answer 1

由椭圆C：

x2

4

+

y2

3

＝1可得a²=4，b²=3，∴c＝

a2?b2

=1．
∴左焦点F（-1，0）．
由题意只考虑直线l的斜率存在且不为0即可，
设直线l的方程为my=x+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

my＝x+1 x2 4 + y2 3 ＝1

化为（4+3m²）y²-6my-9=0，
∴y1+y2＝

6m

4+3m2

，
∴yP＝

y1+y2

2

=

3m

4+3m2

，
∴S_△PFO=

1

2

|OF|?|yP|=

|3m|

2(4+3m2)

=

3

2( 4 |m| +3|m|)

≤

3

2×2 12

=

3

8

，当且仅当|m|=

2 3

3

时取等号．
此时△PFO的最大值为

3

8

，直线l的方程为±

2 3

3

y＝x+1．