Question

操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°．将一块足够大的等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将

操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°．将一块足够大的等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①②③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．（1）三角板绕点P旋转，当PD⊥AC时，如图①，四边形PDCE是正方形，则PD=PE．当PD与AC不垂直时，如图②、③，PD=PE还成立吗？并选择其中的一个图形证明你的结论．（2）三角板绕点P旋转，△PEB是否成为等腰三角形？若能，求出此时CE的长；若不能，请说明理由．（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，如图④，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图形加以证明．

Answer 1

解答：解：（1）PD=PE依然成立．
证明：连接PC，∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB中点，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=

1

2

∠ACB=45°，
即∠ACP=∠B=45°
∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠DPC=∠BPE，
∴△PCD≌△PBE，
∴PD=PE．

（2）分三种情况讨论如下：
①当PE=PB，点C与点E重合，即CE=0．
②当PE=BE时，CE=1．
③当BE=PB时
若点E在线段CB上时，CE=2?

2

，
若点E在CB延长线上时CE＝2+

2

．

（3）过点M作MF⊥AC，MH⊥BC．
∵∠C=90°，
∴四边形CFMH是矩形即∠FMH=90°，MF=CH．
∵

CH

HB

＝

AM

MB

＝

1

3

而HB=MH，
∴

MF

MH

＝

1

3

∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，
∴∠DMF=∠EMH，
∵∠MFD=∠MHE=90°，
∴△MFD∽△MHE，
即

MD

ME

＝

MF

MH

＝

1

3

．