Question

函数f(x)＝13x3+m+22x2+2mx+1既有极大值又有极小值，求实数m的取值范围．若f（x）的极大值为1，求m的值

函数f(x)＝13x3+m+22x2+2mx+1既有极大值又有极小值，求实数m的取值范围．若f（x）的极大值为1，求m的值．

Answer 1

f′（x）=x²+（m+2）x+2m=（x+2）（x+m），
∵f（x）既有极大值又有极小值，
∴f′（x）=（x+2）（x+m）=0有两个不等实根-2和-m，
∴m≠2（m∈R）；
若f(?2)＝

7

3

?2m＝1，则m＝

2

3

，
当x＜-2时，f'（x）＞0，当?2＜x＜?

2

3

时，f'（x）＜0，f（x）在x=-2处取的极大值，所以m＝

2

3

合题意．
f(?m)＝

1

6

(m3?6m2)+1＝1当m=0时，f′（x）=x（x+2）在区间（-2，0）上小于0，在区间（0，+∞）上大于0，f（x）在x=0上取得极小值，不合题意．
当m=6时，f′（x）=（x+2）（x+6）=0在区间（-∞，-6）上大于0，在区间（-6，-2）上小于0，在x=-m=-6处取得极大值，合题意．总之m＝

2

3

或m=6．