Question

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=kSn+2，又a1=2，a2=4（1）求k的值及通项an（2）若bn=log2an，试求所有

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=kSn+2，又a1=2，a2=4（1）求k的值及通项an（2）若bn=log2an，试求所有正整数m，使bm+1bm+2bm为数列{Sn}中的项．

Answer 1

（1）当n=1时，S₂=kS₁+2，即a₁+a₂=ka₁+2，将a₁=2，a₂=4
代入上式，得k=2；（2分）
当n≥2时，

Sn+1＝2Sn+2(1) Sn＝2Sn?1+2(2)

（1）-（2）得a_n+1=2a_n（4分）
又因为

a2

a1

＝2，所以a_n为首项为2，公比为2的等比数列，（6分）
所以a_n=2ⁿ．（7分）
（2）由（1）知b_n=log₂a_n=n，S_n=2ⁿ⁺¹-2（9分）
则

bm+1bm+2

bm

＝

(m+1)(m+2)

m

＝m+

2

m

+3（10分）
因为m∈N⁺，S_n∈N⁺，所以m∈1，2，当m=1时m+

2

m

+3＝6＝S2，
当m=2时m+

2

m

+3＝6＝S2，所以m=1或m=2（14分）