Question

已知函数f(x)＝12x2+alnx(a∈R)．（Ⅰ）若a=-1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若?x＞0，使f（x）≤0成

已知函数f(x)＝12x2+alnx(a∈R)．（Ⅰ）若a=-1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若?x＞0，使f（x）≤0成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=-1时，f(x)＝

1

2

x2?lnxf′(x)＝x?

1

x

，（1分）
令f′(x)＝x?

1

x

＞0，解得x＞1，所以f（x）的单调增区间为（1，+∞）；（3分）
f′(x)＝x?

1

x

＜0，解得0＜x＜1，所以f（x）的单调减区间为（0，1）..（4分）
（Ⅱ）当a＞0，由对数函数性质，f（x）的值域为R；（5分）
当a=0，f(x)＝

1

2

x2＞0，所以对?x＞0，f（x）＞0恒成立；（6分）
当a＜0，由f′(x)＝x+

a

x

．令f′（x）=0，∴x＝

?a

列表：

x	(0， ?a )	?a	( ?a ，+∞)
f′（x）	_	0	+
f（x）	减函数	极小值	增函数

（8分）
这是f(x) min＝f(

?a

)＝?

a

2

+aln

?a

．（10分）
∵?x＞0，使f（x）≤0成立，∴?

a

2

+aln

?a

≤0，∴a≤-e，
∴a范围为（-∞，-e]∪（0，+∞）．（12分）