Question

不等式与数列证明

Answer 1

给你一个简单的证明方法：构造函数法。
证明：因为：ln(n+1)=ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(3/2)+ln(2/1)，
而n/(n+1)=1-1/(n+1)=[1-1/2]+[1/2-1/3]+...+[1/n-1/(n+1)],
于是我们根据不等两边通项构造函：
f(x)=x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)],x>0,
求导易得：f(x)=x^2/[2(x+1)^2]>0,
即f(x)在x>0上单调递增，
又f(x)在x=0可连续则f(x)>f(0)=0
即x>0。
即x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)]>0,
亦即x>ln(1+x)+(1/2)[x-x/(x+1)],
现将x用1/n（>0）替换整理可得：
1/n>ln[(n+1)/n]+(1/2)[1/n-1/(n+1)]，
并将此不等式n项累加得：
1+1/2+1/3+...+1/n
>{ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(2/1)}+(1/2){[1-1/2]+[1/2-1/3]+...+[1/n-1/(n+1)]}
=ln(n+1)+(1/2)[1-1/(n+1)]
=ln(n+1)+n/(2n+2),
于是原命题得证！