Question

数列极限的问题

数列中
第1，3，5，7，9……项构成一个子数列
第2，4，6，8，10……项构成另一个子数列

如果这两个子数列的极限都相同且为a
那么这个原数列的极限一定为a吗？

如果是， 怎么证明

Answer 1

是的。这是真命题。

证：
数列{a(2k+1)}和{a(2k)}都收敛于a. 则
对任意的ε > 0,
1)存在K1 > 0，使得
当k > K1时，下式恒成立
|a(2k+1) - a| < ε,
2)存在K2 > 0，使得
当k > K2时，下式恒成立
|a(2k) - a| < ε.
于是取N = 2 * Max{K1, K2} + 1
则当n > N时，有
|an - a| < ε
恒成立.
所以数列{an}收敛于a.

Answer 2

不一定，反证法

Answer 3

其实明白一件事就可以了
自然数集N的子集可以是N本身（称：平凡子集）
那么构造新子列，分别交叉取题目中的两个子列项为新子列的项，
这样下标为1，2，3，……
显然这个数学按照构造要求是由极限a的
于是证明了原数列有极限a

Answer 4

这两个子数列的极限都不存在！因为它们都不能接近一个确定的数（极限）。

Answer 5

有，也为a