Question

各项均为正数的数列{a n }中，前n项和 S n =( a n +1 2 ) 2 ．（1）求数列{a n }

各项均为正数的数列{a n }中，前n项和 S n =( a n +1 2 ) 2 ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若 1 a 1 a 2 + 1 a 2 a 3 +…+ 1 a n a n+1 ＜k 恒成立，求k的取值范围；（3）对任意m∈N * ，将数列{a n }中落入区间（2 m ，2 2m ）内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m项和S m ．

Answer 1

（1）∵ S n =( a n +1 2 ) 2 ， ∴ S n-1 =( a n-1 +1 2 ) 2 ，n≥2 ， 两式相减得 a n =( a n +1 2 ) 2 -( a n-1 +1 2 ) 2 ，n≥2 ，…（2分） 整理得（a n +a n-1 ）（a n -a n-1 -2）=0， ∵数列{a n }的各项均为正数， ∴a n -a n-1 =2，n≥2，∴{a n }是公差为2的等差数列，…（4分） 又 S 1 =( a 1 +1 2 ) 2 得a 1 =1，∴a n =2n-1．…（5分） （2）由题意得 k＞( 1 a 1 a 2 + 1 a 2 a 3 +…+ 1 a n a n+1 ) max ， ∵ 1 a n a n+1 = 1 (2n-1)(2n+1) = 1 2 ( 1 2n-1 - 1 2n+1 ) ， ∴ 1 a 1 a 2 + 1 a 2 a 3 +…+ 1 a n a n+1 = 1 2 [(1- 1 3 )+( 1 3 - 1 5 )+…+( 1 2n-1 - 1 2n+1 )] = 1 2 (1- 1 2n+1 )＜ 1 2 …（8分）∴ k≥ 1 2 …（10分） （3）对任意m∈N + ，2 m ＜2n-1＜2 2m ，则 2 m-1 + 1 2 ＜n＜ 2 2m-1 + 1 2 ， 而n∈N*，由题意可知 b m = 2 2m-1 - 2 m-1 ，…（12分） 于是 S m = b 1 + b 2 +…+ b m = 2 1 + 2 3 +…+ 2 2m-1 -( 2 0 + 2 1 +…+ 2 m-1 ) = 2- 2 2m+1 1- 2 2 - 1- 2 m 1-2 = 2 2m+1 -2 3 -( 2 m -1)= 2 2m+1 -3? 2 m +1 3 ， 即 S m = 2 2m+1 -3? 2 m +1 3 ．…（16分）