Question

如图，在等腰梯形ABCD中，∠DCB=60°，AD ∥ BC，且AD=DC． E，F分别在AD，DC的延长线上，且DE=CF、A F

如图，在等腰梯形ABCD中，∠DCB=60°，AD ∥ BC，且AD=DC． E，F分别在AD，DC的延长线上，且DE=CF、A F，BE交于点P，且分别交DC，BC于点H，G．（1）求证：AF=BE；（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论；（3）延长BA，CD相交于M，若AD=24，BP=27，试求三角形MBP和三角形MBH的面积比．

Answer 1

（1）∵AB=CD，AD=DC， ∴BA=AD，∠BAE=∠ADF， ∵DE=CF， ∴AE=DF， ∴△BAE≌△ADF（SAS）． ∴BE=AF．（3分） （2）猜测∠BPF=120°．（1分） ∵由（1）△BAE≌△ADF， ∴∠ABE=∠DAF． ∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠DAF+∠BAP=∠BAE． 而AD ∥ BC，∠DCB=∠ABC=60°， ∴∠BPF=120°．（3分） （3）延长BA，CD交于点M，则△MBC为正三角形． ∵∠BPF=120°， ∴∠APB=∠M=60°． 而∠ABP=∠HBM， ∴△ABP ∽ △HBM． ∴ AB HB = BP BM ，即 24 HB = 27 48 ． ∴ HB= 128 3 则S △MBP ：S △MBH =BP：BH=81：128．（5分）